大地测量学¶
第一章 绪论¶
大地测量学的定义¶
- 在一定的时间与空间参考系中，测量和描绘地球形状及其重力场并监测其变化，研究近地空间定位技术并为人类活动提供关于地球空间信息的一门学科
大地测量学的作用¶
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大地测量学为地球科学研究提供时空坐标基础
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大地测量学在防灾及环境监测中发挥着特殊作用
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大地测量学是发展空间技术和国防建设的重要保障
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建立大地控制网为测绘工程提供大地参考框架。
大地测量学的基本体系¶
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几何大地测量学
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基本任务：
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确定地球的形状和大小
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确定地面点的几何位置
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主要内容：
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地球椭球数学性质及地图投影
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国家大地控制网建立原理与方法
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大地观测技术
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物理大地测量学
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基本任务：
- 用物理方法(重力测量)确定地球形状及其外部重力场。
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主要内容：
- 包括位理论、地球重力场、重力测量及其归算、推求地球形状及外部重力场的理论与方法.
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空间大地测量学
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基本任务：
- 建立和维持各种坐标系统及参考框架，确定地球形状、大小及外部重力场，以及为空间探测服务。
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主要内容：
- 基于自然星体和人造地球卫星信号的空间精密定位理论、技术与方法
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大地测量学的内容¶
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确定地球形状与外部重力场及其随时间的变化，建立全球统一的大地测量坐标系。
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研究月球及太阳系行星的形状及重力场。
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建立和维持国家天文大地水平控制网和精密水准网。
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研究高精度观测技术和方法。
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研究地球表面向椭球面或平面的数学投影变换及有关大地测量计算。
大地测量学和其他学科的关系¶
大地测量学的发展简史¶
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地球圆球阶段
- 从远古至 17 世纪，采用天文方法得到地面上同一子午线上两点的纬度差，用大地法得到对应的子午圈弧长，从而推得地球半径(弧度测量)。
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地球椭球阶段
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从 17 世纪至 19 世纪下半叶，近 200 年期间，对地球形状的认识上升为两极略扁的椭球。
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大地测量仪器：望远镜，游标尺，十字丝，测微器
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大地测量方法：1615 年荷兰斯涅耳(Snell)首创三角测量法
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行星运动定律：1619 年德国的开普勒(Kepler)发表了行星运动三大定律
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标志性成果
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几何大地测量学
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长度单位的建立
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最小二乘法的提出
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椭球大地测量学的形成
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弧度测量大规模展开
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推算了不同的地球椭球参数
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物理大地测量学
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克莱罗定理
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重力位函数
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地壳均衡学说
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重力测量有了进展
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大地水准面阶段
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从 19 世纪下半叶至 20 世纪 40 年代，对地球的认识发展到大地水准面包围的大地体。
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几何大地测量学进展：
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天文大地网的布设有了重大发展。
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因瓦基线尺出现，平行玻璃板测微器的水准仪及因瓦水准尺使用
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物理大地测量学进展：
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大地测量边值问题求解理论的提出
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提出了新的椭球参数
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现代大地测量新时期
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20 世纪下半叶，以电磁波测距、人造地球卫星定位系统及甚长基线干涉测量等为代表的新的测量技术的出现，给传统的大地测量带来了革命性的变革，大地测量学进入了以空间测量技术为代表的现代大地测量发展的新时期
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我国高精度天文大地网的建立
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我国大规模水准网的建立
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我国高精度重力网的建立
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我国 CGCS2000 的建立
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大地测量发展展望¶
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全球导航卫星系统(GNSS)、激光测卫(SLR)以及甚长基线干涉测量(VLBI)是主导本学科发展的空间大地测量技术
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空间大地网在地球科学研究中发挥重要作用
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精化地球重力场模型是大地测量学的重要发展目标
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深空大地测量为空间探测提供定位技术保障，深空网的建设将是空间大地测量的重要内容。
思考题¶
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大地测量学的研究对象？
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大地测量学的基本体系？
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CGCS2000 是如何定义的？
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大地水准面与参考椭球面的关系？
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克莱罗定理的作用？
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大地测量学发展历程
第二章 坐标与时间系统¶
地球的运转¶
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天球基本概念
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天球：天球是指以地球质心(测站中心、太阳系质心)为中心、半径为无穷大的一个假想的球体。
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天球上的点线面
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天轴与天极
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地球自转轴延伸直线为天轴
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天轴与天球的交点 PN 和 PS 称为天极，其中 PN 称为北天极，PS 为南天极
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赤经与赤纬
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地球的中心至天体的连线与天球赤道面的夹角称为赤纬
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春分点的天球子午面与过天体的天球子午面的夹角为赤经
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天球赤道
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通过地球质心 O 与天轴垂直 的平面称为天球赤道面，天球赤道面与地球赤道面重合
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天球赤道面与天球相交的大圆称为天球赤道
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黄道
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地球公转的轨道面(黄道面)与天球相交的大圆称为黄道。
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黄赤交角
- 黄道面与赤道面的夹角称为黄赤交角，约为 23.5°
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天球子午圈
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包含天轴并通过任一点的平面，称为天球子午面
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天球子午面与天球相交的大圆称为天球子午圈
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黄极
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通过天球中心，且垂直于黄道面的直线与天球的交点，称为黄极
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靠近北天极的交点称为北黄极，靠近南天极的交点称为南黄极
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春分点与秋分点
- 黄道与赤道的两个交点称为春分点和秋分点。视太阳在黄道上从南半球向北半球运动时，黄道与天球赤道的交点称为春分点
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时圈
- 通过天轴的平面与天球相交的大圆均称为时圈
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天球直角坐标系
- 原点位于地球质心，\(Z\) 轴指向北天极，\(X\) 轴指向春分点，\(Y\) 轴垂直 \(XOZ\) 平面
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地球的公转
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开普勒三大行星运动定律
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运动的轨迹是椭圆，太阳位于其一个焦点
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在单位时间内扫过的面积相等
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运动周期的平方与轨道长半轴的立方之比为常数
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地球的自转
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地轴方向相对于空间的变化(岁差和章动)
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"日月引力对地球自转轴在空间的方向产生影响"
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岁差
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太阳引力对地球自转轴在空间的指向产生的影响。
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地球的旋转轴在空间围绕黄极发生顺时针(从北天极看向南天极)缓慢旋转，形成一个倒圆锥体(ε=23.5°，25800 年)。
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岁差是地轴方向相对于空间的长周期运动。
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岁差使春分点每年向西移动 50.3″。岁差引起春分点的移动。
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产生岁差的原因
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地球旋转轴倾斜
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地球赤道隆起
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章动
- 月球引力的大小和方向不断变化，从而导致瞬时北天极在天球上绕瞬时平北天极产生周期为 18.6 年、振幅为 9.21″ 的短周期运动，这种现象称为章动
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地轴相对于地球本身相对位置变化(极移)
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极移
- 地球自转轴存在相对于地球体自身内部结构的相对位置变化，从而导致极点在地球表面上的位置随时间而变化，这种现象称为极移
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瞬时极与平极
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通常以 ILS 于 1900～1905 年所确定的平极称为国际协议原点 CIO (1903.0)。
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IPMS 和 BIH 别用不同的方法得到地各自的极点，BIH1984.0 极点用于 WGS84 的 \(Z\) 轴指向。
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1988 年后由 IERS 负责极移工作
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地球自转速度变化(日长变化)
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地球自转不是均匀的
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短周期变化是由于地球周期性潮汐影响
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长期变化表现为地球自转速度缓慢变小。
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地球的自转速度变化导致日长的视扰动和缓慢变长，从而使以地球自转为基准的时间尺度产生变化。
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地球定向参数(EOP)
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描述地球自转运动规律(岁差、章动、极移、自转速度变化)的参数
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地球自转参数(ERP)
- 描述地球自转速度变化的参数和描述极移的参数
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\(EOP = ERP + 岁差 + 章动\)
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时间系统¶
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概述
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如何描述时间
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时间原点
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度量单位(尺度)
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周期运动满足如下三项要求，可以作为计量时间的方法
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运动是连续的
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运动的周期具有足够的稳定性
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运动是可复现和可观测的。
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基于地球自转的时间系统
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恒星时(ST)
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定义
- 以春分点作为基本参考点，由春分点周日视运动确定的时间，称为恒星时。春分点连续两次经过同一子午圈上中天的时间间隔为一个恒星日，分为 24 个恒星时，某一地点的地方恒星时，在数值上等于春分点相对于当地子午圈的时角。
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地方真恒星时、平恒星时、格林尼治真恒星时、格林尼治平恒星时之间的关系：
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\(LAST - LMST = GAST - GMST = \Delta \Psi \cdot \cos \epsilon\)
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\(GMST - LMST = GAST - LAST = \lambda\)
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太阳时(真太阳时、平太阳时、世界时)
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以真太阳作为基本参考点，由其周日视运动确定的时间，称为真太阳时。
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真太阳周日视运动速度不均匀，虚拟一个平太阳作为参考点，其速度等于真太阳周年视运动的平均速度，由此确定的时间称为平太阳时。
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世界时(UT)
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以格林尼治平子夜为零时起算的平太阳时称为世界时(UT)。
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未经任何改正的世界时表示为 UT0
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经过极移改正的世界时表示为 UT1
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进一步经过地球自转速度的季节性改正后的世界时表示为 UT2
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\(UT1=UT0+\Delta\lambda\)
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\(UT2=UT1+\Delta T\)
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平恒星时与平太阳时的转换关系
- 24h(平恒星时)=23h56m4.09053s(平太阳时)
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基于地球公转的时间系统
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历书时(ET)
- 根据地球绕日公转定义了历书时，即定义地球两次通过春分点的时间间隔为 1 回归年
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基于原子振荡的时间系统
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原子时(AT)
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原子时是一种以原子谐振信号周期为标准的时间系统。原子时的基本单位是原子时秒，
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定义为：在零磁场下，位于海平面的铯 133 原子基态两个超精细能级间跃迁辐射振荡 9192631770 周所持续的时间，规定为国际单位制中的时间单位。
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原子时的原点定义：1958 年 1 月 1 日 UT2 的 0 时。但实际上存在微小差异： \(AT=UT2－0.0039(s)\)
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国际原子时(TAI)
- BIPM 的数百台原子钟确定的时间系统。
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协调世界时(UTC)
- 以原子时秒长为计量单位、在时刻上与平太阳时之差小于 0.9 秒的时间系统。当大于 0.9 秒，采用 12 月 31 日或 6 月 30 日跳秒。 \(TAI=UTC+1×n(秒)\)
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GPS 时间系统（GPST）
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时间的计量对于卫星定轨、地面点与卫星之间距离测量至关重要，精确定时设备是导航定位卫星的重要组成部分。
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GPS 的时间系统采用基于美国海军观测实验室 USNO 维持的原子时，称为 GPST，起点规定 1980 年 1 月 6 日 0 时 GPS 与 UTC 相等。
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GPST 与 TAI 的原点不同， \(TAI-GPST=19s\)
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坐标系统¶
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基本概念
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大地基准
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大地基准是指用以描述地球形状的参考椭球的参数，以及参考椭球在空间中的定位及定向。
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大地测量参考系统
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坐标参考系统
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天球坐标系
- 用于研究天体和人造卫星的定位与运动
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地球坐标系
- 用于研究地球上物体的定位与运动，是以旋转椭球为参照体建立的坐标系统，分为大地坐标系和空间直角坐标系两种形式
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高程参考系统
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以大地水准面为参照面的高程系统称为正高
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以似大地水准面为参照面的高程系统称为正常高
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以参考椭球面为参照面的高程系统称为大地高
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正常高及正高与大地高有如下关系：
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\(H=H_{正常}+\zeta\)
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\(H=H_{正高}+N\)
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大地测量参考框架
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大地测量参考系统的具体实现，是通过大地测量手段确定的固定在地面上的控制网所构建坐标参考架、高程参考框架、重力参考框架。
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国家平面控制网是全国进行测量工作的平面位置的参考框架。
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国家高程控制网是全国进行测量工作的高程参考框架。
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国家重力基本网是确定我国重力加速度数值的参考框架。
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2000 国家 GPS 控制网是我国新一代的地心坐标系统的基础框架。
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重力参考系统
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椭球定位和定向概念
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椭球类型
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参考椭球
- 具有确定参数(长半径 \(a\) 和扁率 \(\alpha\) )，经过局部定位和定向，同某一地区大地水准面最佳拟合的地球椭球。
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总地球椭球
- 在全球范围内与大地体最密合的地球椭球。
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椭球定位是指确定椭球中心的位置，可分为两类
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局部定位：要求在一定范围内椭球面与大地水准面有最佳的符合，而对椭球的中心位置无特殊要求
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地心定位：要求在全球范围内椭球面与大地水准面最佳的符合，同时要求椭球中心与地球质心一致。
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椭球定向
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指确定椭球旋转轴的方向，不论是局部定位还是地心定位，都应满足两个平行条件：
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椭球短轴平行于地球自转轴
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大地起始子午面平行于天文起始子午面。
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天球坐标系
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协议天球坐标系
- 约定某一刻 \(t0\) 作为参考历元，把该时刻对应的平北极作为 \(Z\) 轴的指向点，以对应的春分点为 \(X\) 轴的指向点，以 \(XOY\) 的垂直方向为 \(YZ\) 轴建立的右手坐标系，称为协议天球坐标系。
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协议天球坐标系转换到瞬时平天球坐标系
- 岁差旋转
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瞬时平天球坐标转换到瞬时真天球坐标
- 章动旋转
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地球坐标系
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地固坐标系也称地球坐标系，是固定在地球上与地球一起旋转的坐标系。
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根据 Z 轴的指向分为
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瞬时地球坐标系
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协议地球坐标系
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原点的位置分为
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参心坐标系
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地心坐标系
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站心坐标系
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还可以分为
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空间直角坐标系
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大地坐标系
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协议地球坐标系与瞬时地球坐标系的转换
- 极移旋转
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协议地球坐标系与协议天球坐标系的转换
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协议天球坐标转换到瞬时天球坐标
- 岁差旋转+章动旋转
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瞬时天球坐标转换到瞬时地球坐标
- 自转时角
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瞬时地球坐标转换到协议地球坐标
- 极移旋转
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参心坐标系
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选择或求定椭球的几何参数(半径 a 和扁率α)
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确定椭球中心的位置(椭球定位)
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确定椭球短轴的指向(椭球定向)
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建立大地原点
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根据椭球定向的两个平行条件
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一点定位
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多点定位
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过程
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最小二乘准则
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最小二乘准则
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广义垂线偏差公式与广义拉普拉斯方程计算
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大地原点和大地起算数据
- 大地原点也叫大地基准点或大地起算点，参考椭球参数和大地原点上的起算数据的确立是一个参心大地坐标系建成的标志
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1954 年北京坐标系
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1954 年北京坐标系是前苏联 1942 年坐标系的延伸，原点在前苏联的普尔科沃，相应的椭球为克拉索夫斯基椭球。
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椭球参数有较大误差
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参考椭球面与我国大地水准面存在着自西向东明显的系统性倾斜
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几何大地测量和物理大地测量应用的参考面不统一
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定向不明确。
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1980 年国家大地坐标系(西安 80 坐标系)
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采用 1975 年 IUGG 推荐的 5 个椭球基本参数
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在 1954 年北京坐标系基础上建立的
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椭球面同似大地水准面在我国境内最为密合，是多点定位
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定向明确,椭球短轴平行于地球质心指向地极原点的方向
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大地原点地处我国中部，位于西安市以北 60km 处的泾阳县永乐镇，简称西安原点。
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高程基准采用 1956 年黄海高程系
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新 1954 年北京坐标系
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新 1954 年北京坐标系,是在 GDZ80 基础上，改变 GDZ80 的 IUGG1975 椭球几何参数为克拉索夫斯基椭球参数，并将坐标原点(椭球中心)平移,使坐标轴保持平行而建立起来的。
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采用克拉索夫斯基椭球参数
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是综合 GDZ80 和 BJ54 建立起来的参心坐标系
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采用多点定位，但椭球面与大地水准面在我国境内不是最佳拟合
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定向明确，坐标轴与 GDZ80 相平行，椭球短轴平行于地球质心，指向 1968.0 地极原点的方向
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大地原点与 GDZ80 相同，但大地起算数据不同
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高程基准采用 1956 年黄海高程系
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与 BJ54 相比，所采用的椭球参数相同，其定位定向不同。
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地心坐标系
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概述
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原点 \(O\) 与地球质心重合， \(Z\) 轴指向地球北极， \(X\) 轴指向格林尼治平均子午面与地球赤道的交点， \(Y\) 轴垂直于 \(XOZ\) 平面构成右手坐标系。
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地球北极是地心地固坐标系的基准指向点，地球北极点的变动将引起坐标轴方向的变化。基准指向点的指向不同，可分为瞬时地心坐标系与协议地心坐标系
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在大地测量中采用的地心地固坐标系大多采用协议地极原点 CIO 为 \(Z\) 轴指向点
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地心地固坐标系的建立方法
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直接法
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间接法
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WGS-84 世界大地坐标系
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WGS-84 坐标系是 GPS 所采用的坐标系统
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WGS-84 坐标系统是一个地心地固坐标系统(ECEF)
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WGS-84 坐标系的 Z 轴指向 BIH1984.0 定义的协议地球极方向
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ITRS 与 ITRF
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国际地球自转服务 IERS(International Earth Rotation Service)
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维持国际天球参考系统(ICRS)和框架(ICRF)
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维持国际地球参考系统(ITRS)和框架(ITRF)
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提供及时准确的地球定向参数(EOP)
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国际地球参考系统 ITRS(International Terrestrial Reference System)
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ITRS 是一种协议地球参考系统(CTRS),定义为 CTRS 的原点为地心，并且是指包括海洋和大气在内的整个地球的质心
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ITRS 的长度单位为米(m)，并且是在广义相对论框架下的定义
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ITRS 的定向 Z 轴从地心指向 BIH1984.0 定义的协议地球极(CTP)， \(X\) 轴从地心指向格林尼治平均子午面与 CTP 赤道的交点； \(Y\) 轴与 \(XOZ\) 平面垂直而构成右手坐标系
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ITRS 的定向的随时演变满足地壳无整体旋转 NNR 条件的板块运动模型。
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国际地球参考框架 ITRF(International Terrestrial Reference Frame)
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ITRF 是 ITRS 的具体实现，是由 IERS 中心局利用 VLBI、LLR、SLR、GPS 和 DORIS 等空间大地测量技术的观测数据分析得到的一组全球站坐标和速度
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ITRF 是通过框架的定向、原点、尺度和框架时间演变基准的明确定义来实现的
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CGCS2000 国家大地坐标系
- CGCS2000 与 ITRF97(2000 参考历元) 等价
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讨论题
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如何利用 ITRF2000 坐标计算 CGCS2000 坐标？
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（1）将 ITRF2000 坐标从 1997.0 转换到 2000.0
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（2）计算 2000.0 对应的 ITRF2000 到 ITRF97 的转换参数
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（3）利用（2）的转换参数计算 ITRF97(2000.0)对应的坐标--CGCS2000 坐标
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站心坐标系
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以测站为原点，测站上的法线(垂线)为 \(Z\) 轴,北方向为 \(X\) 轴，东方向为 \(Y\) 轴的左手坐标系。
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垂线站心坐标系
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法线站心坐标系
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地球坐标系按坐标原点的不同分类
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地心坐标系统（地心空间直角坐标系、地心大地坐标系 ）
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参心坐标系统（参心空间直角坐标系、参心大地坐标系 ）
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站心坐标系统（站心直角坐标系 、站心极坐标系 ）
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坐标系换算
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欧勒角与旋转矩阵
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不同空间直角坐标系转换
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布尔莎七参数转换模型
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公共点的坐标对转换参数的求解有重要影响
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公共点个数
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公共点的几何分布
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公共点的坐标精度
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为了求得较好的转换参数，应选择一定数量、精度较高、分布较均匀公共点
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可采用配置法将公共点的转换值改正为已知值，对非公共点的转换值进行相应的配置。
-
-
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不同大地坐标系换算
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讨论题
- 为了求得两个空间直角坐标系的转换参数，应如何选择公共点？
-
第三章 地球重力场及地球形状的基本理论¶
地球的基本结构¶
地球重力场的基本原理¶
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引力与离心力
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引力位和离心力位
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力场：如果某一空间的任意一点都有一定力的作用，而力的大小与方向只与该点的位置有关，则这一空间称为力场。
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保守力：力场所做的功只与起点和终点有关，与路径无关，这样的力称为保守力。引力与离心力都是保守力
-
引力位
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将单位质点从无穷远处移动到该点引力所做的功(质点在某一位置时对无穷远处的引力位能的负值)。
-
\(V=G\cdot\cfrac{M}{r}\)
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\(V\) 是一个标量
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\(V\) 只与位置有关
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无穷远处：\(V=0\)
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\(V\) 沿某个方向的变化率等于 \(M\) 产生的引力在该方向的分量(引力位的 1 阶导数是引力)
-
借助于 \(V\) 可很好地研究地球重力场
-
-
结论：单位质点的物体在引力场中的加速度等于引力位的导数，方向与径向方向相反。
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推论：位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度(或引力)的负值。
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-
离心力位
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\(Q=\cfrac{\omega^2}{2}(x^2+y^2)\)
- 离心力位的参考零点在旋转轴 Z 上
-
-
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重力位
-
\(W=V+Q\)
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重力是引力和离心力的合力
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重力位在任意方向 \(l\) 的偏导数等于重力在该方向上的分力
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当 \(g\) 与 \(l\) 相垂直时：\(dW=0\) ，\(W＝常数\) 。当给出不同的常数值，就得到一簇曲面，称为重力等位面，也就是我们通常说的水准面，水准面有无穷多个。其中，我们把与平均海水面最接近的的重力等位面专称为大地水准面。
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水准面
- 当 \(g\) 与 \(l\) 相垂直时：\(dW=0\) ，\(W＝常数\) 。当给出不同的常数值，就得到一簇曲面，称为重力等位面，也就是我们通常说的水准面
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大地水准面
- 我们把与平均海水面最接近的的重力等位面专称为大地水准面。
-
-
水准面之间既不平行，也不相交和相切
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重力从赤道向两极逐渐增大
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地球上重力的大小与方向只与被吸引点的位置有关，理论上应该是常数，但重力是随时间变化而变化，即相同的点在不同的时刻所观测到的重力不相同。
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-
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地球的正常重力位和正常重力
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要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形状及内部物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分布极其不规则，目前也无法知道，故根据上式不能精确求得地球的重力位，为此引进一个与其近似的地球重力位——正常重力位。
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正常重力位：是一个不涉及地球形状和密度便可直接计算得到的地球重力位的近似值
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扰动位：实际重力位与正常重力位的差值
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讨论题
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引入正常重力位的目的是什么？
- 首先求解正常重力位，再求解扰动位，据此求出大地水准面与正常椭球的差异，最终确定地球重力位和地球形状。
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地球引力位的数学表达式
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地球惯性矩表达引力位
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用球谐函数表达地球引力位
- 不同的正常重力位对应不同的正常位水准面，我们寻找的是与大地水准面相近的正常位水准面的形状，上式中，对 和 r 取不同的常数值，就得到一簇正常位水准面，取 ，求得与大地水准面相近的正常位水准面方程
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地球正常重力位
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正常重力公式
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描述正常重力公式称为克莱罗定理
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思考题
- 我国及其他国家目前研究提出的重力场模型有哪些？精度如何？
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高出水准椭球面 H 米的正常重力计算公式
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正常重力场参数
- 在物理大地测量中,正常椭球重力场可用 4 个基本参数决定
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正常椭球
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正常椭球面是大地水准面的规则形状，一般指旋转椭球面，其表面是水准面，因此也称水准椭球
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引入正常椭球后，地球重力位被分成正常重力位和扰动位两部分，实际重力也被分成正常重力和重力异常两部分。
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讨论题
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重力等位面上各点的重力位相同，其重力是否相同？
- 重力等位面上各点的重力位相同，其各点的重力方向不同，大小也不同。
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任意两个重力等位面之间的位差相等，其距离是否处处相同？
- 任意两个重力等位面的位差相等，但其空间几何关系是不平行的，向两极逐渐收敛，其距离不能保持处处相同。
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任意两个重力等位面之间的重力差是否处处相等？
- 任意两个重力等位面之间的重力差是处处变化的
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高程系统¶
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一般说明
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在大地测量中用到的高程类型
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大地高
- 以参考椭球面作为起算面
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正高
- 以大地水准面作为起算面
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正常高
- 以似大地水准面作为起算面
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力高
- 区域性高程
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\(H_大=H_{正高}+N\\H_大=H_{正常}+\zeta\)
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大地水准面差距
- \(N\)
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高程异常
- \(\zeta\)
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两点间的水准高差因路线不同而产生差异
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地球重力位数(geopotential number)
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正高系统
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定义：
- 正高系统是以大地水准面为高程基准面，地面上任一点的正高是该点沿垂线方向至大地水准面的距离。
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正常高系统
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定义
- 将正高系统中不能精确测定的 \(G_m^B\) 用正常重力 \(\gamma_m^B\) 代替，得到的高程称为正常高。我国采用正常高高程系统作为全国的统一高程系统。
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关于正常高的几点说明
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正常高与正高不同，它不是地面点到大地水准面的距离，而是地面点到一个与大地水准面极为接近的基准面的距离，这个基准面称为似大地水准面。因此，似大地水准面是由地面沿垂线向下量取正常高所得的点形成的连续曲面，它不是水准面，只是用以计算的辅助面。因此，我们可以把正常高定义为以似大地水准面为基准面的高程。
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正常高和正高之差,在高山地区可达 4 米，在平原地区数厘米，在海水面上相等，大地水准面的高程原点对似大地水准面也是适用的
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讨论题
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同一个等位面上的正高是否相同？
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同一个等位面上的正常高是否相同？
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力高和地区力高高程系统
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同一个重力位水准面上两点的正高或正常高是不相等的。对于大型水库等工程项目，它的静止水面是一个重力等位面，在设计、施工、放样等工作中，通常要求这个水面是一个等高面。这时若继续采用正常高或正高显然是不合适的，为了解决这个矛盾，可以采用力高系统
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力高是区域性的，主要用于大型水库等工程建设中
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它不能作为国家统一高程系统
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应根据测量范围大小，测量任务的性质和目的等因素，合理地选择正常高，力高或区域力高作为工程的高程系统
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国家高程基准
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高程基准面
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定义
- 就是地面点高程的统一起算面，由于大地水准面所形成的体形——大地体是与整个地球最为接近的体形，因此通常采用大地水准面作为高程基准面。
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高程基准面的确定
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在海洋近岸的一点处竖立水位标尺，长期观测海水面的水位升降，根据观测结果可以求出该点处海洋水面的平均位置(MSL)。
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1956 年黄海高程系统
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1985 国家高程基准
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水准原点
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1956 年黄海高程系统中，我国水准原点的高程为 72.289m。
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1985 国家高程基准系统中，我国水准原点的高程为 72.260m。
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垂线偏差和大地水准面差距¶
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垂线偏差
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大地坐标同天文坐标的区别主要是由于同一点的法线和垂线不一致，亦即由垂线偏差引起的。
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地面一点上的重力向量 g 和相应椭球面上的法线向量 n 之间的夹角定义为该点的垂线偏差
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根据所采用的椭球不同可分为绝对垂线偏差及相对垂线偏差
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测量方法
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天文大地测量方法
- 在天文大地点上，既进行大地测量取得大地坐标 \((B,L)\) ，又进行天文测量取得天文坐标 \((\varphi，\lambda)\)
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重力测量方法
- 建立扰动位与垂线偏差的关系，即扰动位与观测量(重力异常)的函数
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天文重力方法
- 综合利用天文大地方法和重力测量方法来确定垂线偏差
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GPS 测量方法
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大地水准面
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用地球重力场模型法计算大地水准面差距
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利用斯托克司积分公式计算
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卫星无线电测高方法研究大地水准面
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利用 GPS 高程拟合法研究似大地水准面
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讨论题
- 我国采用正常高高程系统，如何将卫星定位技术得到的大地高应用到水利工程中
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第四章 地球椭球数学投影的基本理论¶
地球椭球基本参数及其互相关系¶
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地球椭球基本几何参数
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旋转椭球体代表地球的规则形状，具有一定的几何参数、定位及定向，并与某一地区大地水准面最佳拟合的地球椭球称之为参考椭球，与之相对的总地球椭球（体）
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参考椭球面是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地球投影的参考面
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子午线
- 包含旋转轴的平面与椭球相交的的椭圆
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平行圈
- 垂直于旋转轴与椭球相交的圆（纬圈）
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赤道
- 过椭球的中心的平行圈。
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基本几何参数
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地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称几何元素)
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长半轴 \(a\)
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短半轴 \(b\)
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扁率 \(f\) 或 \(\alpha\)
- \(f=\cfrac{a-b}{a}\)
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第一偏心率 \(e\)
- \(e=\cfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\)
-
第二偏心率 \(e^\prime\)
- \(e^\prime=\cfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}\)
-
为简化书写常引入以下符号
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\(c=\cfrac{a^2}{b}\)
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\(t=\tan B\)
-
\(\eta ^2 ={e^\prime} ^2 \cos ^2B\)
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\(W=\sqrt{1-e^2\sin^2B}\)
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\(V=\sqrt{1+{e^\prime}^2\cos^2B}\)
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-
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地球椭球参数间的相互关系
-
主要的关系
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\(e^2=\cfrac{a^2-b^2}{a^2}\)
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\({e^\prime}^2=\cfrac{a^2-b^2}{b^2}\)
-
\(1-e^2=\cfrac{b^2}{a^2}\)
-
\(1+{e^\prime}^2=\cfrac{a^2}{b^2}\)
-
\(e^2=\cfrac{{e^\prime}^2}{1+{e^\prime}^2}\)
-
\({e^\prime}^2=\cfrac{e^2}{1-e^2}\)
-
\((1-e^2)(1+{e^\prime}^2)=1\)
-
-
其它元素与基本元素的关系
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\(a=b\sqrt{1+{e^\prime}^2}\ \ \ \ b=a\sqrt{1-e^2}\)
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\(c=a\sqrt{1+{e^\prime}^2}\ \ \ \ a=c\sqrt{1-e^2}\)
-
\(e^\prime = e \sqrt{1+{e^\prime }^2}\ \ \ \ e=e^\prime\sqrt{1-e^2}\)
-
\(V = W\sqrt{1+{e^\prime }^2}\ \ \ \ W=V\sqrt{1-e^2}\)
-
\(\cfrac{W}{V}=\cfrac{a}{b}\)
-
\(W^2=1-e^2\sin^2B=(1-e^2)V^2\)
-
\(V^2=1+\eta^2=(1+{e^\prime}^2)W^2\)
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\(e^2=2f-f^2\approx 2f\)
-
\(c>a>b\ , \ \ e^\prime>e \ ，\ \ V>W\ ,\ \ B>u>\phi\)
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椭球面上常用坐标系及其关系¶
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各种坐标系的建立
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大地坐标系 \((B,L,H)\)
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大地纬度 \(B\)
- 某点的法线与赤道面的夹角，叫做该点的大地纬度
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大地经度 \(L\)
- 某点所在的子午面与起始子午面所构成的二面角，叫做该点的大地经度
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大地高 \(H\)
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大地高与正高和正常高的关系
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大地坐标是大地测量的基本坐标系，具有如下有特点
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它是全球统一的坐标系。经纬线是地图的基本线，故在测量与制图中应用这种坐标系
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它与同一点天文坐标比较可以确定该点的垂线偏差。所以大地坐标系在大地测量计算，地球形状的研究与地图编制等应用广泛。
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空间直角坐标系 \((X,Y,Z)\)
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坐标原点位于总地球椭球质心(或参考椭球中心)； \(Z\) 轴与地球平均自转轴相重合，指向某一时刻的平均北极点；\(X\) 轴指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点 \(G\) ；\(Y\) 轴与 \(XY\) 平面垂直，构成右手坐标系。
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空间直角坐标系分为地心空间直角系与参心空间直角坐标系。
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子午面直角坐标系 \((L,x,y)\)
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地心纬度坐标系及归化纬度坐标系
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设椭球面上 P 点的大地经度 \(L\) ，在此子午面上以椭圆中心 \(O\) 为原点建立地心纬度坐标系，椭球上点与椭球中心的连线和 \(x\) 轴的夹角为地心纬度 \(\phi\) ，点的位置以 \((L,\phi)\) 表示 ;
-
以椭球长半径 \(a\) 为半径作辅助圆，延长 \(P_2P\) 与辅助圆相交 \(P_1\)点，则 \(OP_1\) 与 x 轴夹角称为 \(P\) 点的归化纬度 \(u\)，点的位置以 \((L,u)\) 表示
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大地极坐标系
- \(M\) 是椭球面上一点，\(MN\) 是过 \(M\) 的子午线，\(S\) 为连接 \(MP\) 的大地线长，\(A\) 为大地线 \(MP\) 在 \(M\) 点的大地方位角。以 \(M\) 为极点，\(MN\)为极轴，\(P\) 点极坐标为 \((S, A)\) 。
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坐标系之间的相互关系
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子午平面坐标系同大地坐标系的关系
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空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系
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空间直角坐标系同大地坐标关系
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\(B\) 、\(u\) 、\(\varphi\) 之间的关系
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\(\cos B=W\cos u\\\sin B=V\sin u\)
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\(\tan \phi =\sqrt{1-e^2}\tan u\)
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\(\tan \phi =(1-e^2)\tan B\)
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\(B>u>\varphi\)
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站心地平坐标系
椭球面上的几种曲率半径¶
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基本概念
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法截面
- 过椭球面上任意一点 P 可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作法截面
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法截线
- 法截面与椭球面的交线叫法截线
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子午圈
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卯酉圈
- 过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。
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子午圈曲率半径 M
- \(M=\cfrac{a(1-e^2)}{W^3}\)
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卯酉圈曲率半径 N
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麦尼尔定理
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假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。
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卯酉圈曲率半径 N 等于法线介于椭球面与短轴之间的长度
- \(N=\cfrac{a}{W}\)
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主曲率半径的计算
- 子午圈曲率半径 M 及卯酉圈曲率半径 N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为主曲率半径。
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任意法截弧的曲率半径
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尤拉公式
- \(\cfrac{1}{R_A}=\cfrac{\cos^2A}{M}+\cfrac{\sin^2A}{N}\)
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平均曲率半径
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椭球面上任意一点的平均曲率半径 \(R\) 等于该点子午圈曲率半径 \(M\) 和卯酉圈曲率半径 \(N\) 的几何平均值。
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\(R=\sqrt{MN}\)
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M，N，R 的关系
曲率半径 N R M 公式 \(\cfrac{c}{V^1}\) \(\cfrac{c}{V^2}\) \(\cfrac{c}{V^3}\) 公式 \(\cfrac{a(\sqrt{1-e^2})^0}{W}\) \(\cfrac{a(\sqrt{1-e^2})}{W^2}\) \(\cfrac{a(\sqrt{1-e^2})^2}{W^3}\) -
\(N>R>M\)
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\(N_{90}=R_{90}=M_{90}=c\)
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椭球面上的弧长计算¶
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子午线弧长计算公式
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由子午弧长求大地纬度
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平行圈弧长公式
大地线¶
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大地线
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椭球面上两点间最短程的曲线叫大地线。
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在微分几何中，大地线定义为：“大地线上每点的密切平面（无限接近的三个点构成的平面）都包含该点的曲面的法线，即大地线上各点的主法线与该点曲面法线重合”。
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大地线的性质
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大地线是两点间唯一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角为
- \(\delta=\cfrac{1}{3}\Delta\)
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在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。
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大地线长度与法截线长度之差只有百万分之一毫米，长度差异可忽略,方向之差在一等三角测量中可达到千分之一秒，因此方向差异不可忽略，需要进行方向改化
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大地线的微分方程和克莱罗关系式
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大地线微分公式
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\(\mathrm{d}B=\cfrac{\cos A}{M}\mathrm{d}S\)
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\(\mathrm{d}L=\cfrac{\sin A}{N\cos B}\mathrm{d}S\)
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\(\mathrm{d}A=\cfrac{\sin A}{N}\tan B \mathrm{d}S\)
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上述三个关系式称为大地线微分公式，它们在解决与椭球体有关的一些测量计算中经常被应用。
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大地线的克莱罗关系式
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\(r\cdot \sin A=C\)
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克莱罗关系式表明：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。式中常数 \(C\) 也叫大地线常数。
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地面观测值归算至椭球面¶
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地面观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。归算的两条基本要求
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以椭球面的法线为基准
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将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素
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地面观测的水平方向归算至椭球面
- 将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改正为三差改正
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地面观测的长度归算至椭球面
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垂线偏差对长度归算的影响
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高程对长度归算的影响
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电磁波测距的归算
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思考题
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在椭球面上哪两点的相对法截线合而为一？此法截线是不是大地线？
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试比较椭球面上某一点子午线的曲率半径、卯酉线的曲率半径和平均曲率半径三者数值大小关系，在何处三者大小相等?
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什么是大地线？试推求大地线微分方程
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CGCS2000 椭球面上有一条大地线，其大地线常数 C=a (a 为椭球长半轴)，则该大地线如何描述？若 C=1996.5 公里，则该大地线在北纬最高纬度处的平行圈半径和纬度是多少？
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地面方向观测值与距离观测值如何归算到椭球面上？
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大地测量主题解算¶
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大地主题解算的一般说明
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基本概念
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大地元素
- 椭球面上点的大地经度 \(L\)、大地纬度 \(B\)，两点间的大地线长度 \(S\) 以及正反大地方位角 \(A_{12}\) 、 \(A_{21}\) ，称为大地元素
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大地主题解算
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已知某些大地元素推求另一些大地元素称为大地主题解算。
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正算：已知 \(P_1( B_1 , L_1 ), S, A_{12}\) ，求 \(P_2( B_2, L_2 ), A_{12}\)
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反算：已知 \(P_1( B_1 , L_1), P_2( B_2, L_2 )\) ,求 \(S_{12}, A_{12}, A_{21}\)
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大地主题解算按距离划分
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短距离(<400km)
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中距离(<1000km)
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长距离(1000km 以上)
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大地主题解算理论基础
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以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，在地球椭球面上进行积分运算
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级数展开式
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勒让德级数式
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高斯平均引数
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数值积分法
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以白塞尔大地投影为基础的大地主题解算
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在球面上解算大地主题问题可以借助于球面三角学公式，公式简短而严密。如果找到一种投影方式，将椭球面上大地线投影到球面上为大圆弧，大地线上的点与大圆弧上相应点相对应，即实现所谓的大地投影，将给解算问题带来方便。
-
解算方法：
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按椭球面上已知值计算球面相应值，实现椭球面向球面的过渡
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在球面上解算大地问题
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按球面上得到的数值计算椭球面上的相应数值，即实现从圆球向椭球的过渡
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特点：解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解算，也适用于长距离解算。其解法有逐渐趋近法与直接解法。可适应 20000km 或更长的距离，这对于国际联测，精密导航，远程导弹发射等都具有重要意义。
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勒让德级数式
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勒让德级数大地主题正算的基本公式，其特点是仅适合于解算边长小于 30KM 的情况，而且级数收敛速度慢，距离越长解算精度越差。
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高斯 1864 年对勒让德级数进行了改化，提出了以大地线两端点平均纬度及平均方位角为依据的高斯平均引数公式。该方法公式项数少，级数收敛快，计算简单等特点
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高斯平均引数正算公式
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基本思想
- 首先把勒让德级数在 \(P_1\) 点展开改在大地线长度中点 \(M\) 展开，以使级数公式项数减少，收敛快，精度高；其次，考虑到求定中点 \(M\) 的复杂性，将 \(M\) 点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对应的 \(m\) 点来代替，并借助迭代计算便可顺利地实现大地主题正解
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注意
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为此须用逐次趋近的迭代方法进行公式的计算
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此方法适合与 200 公里以下的大地问题解算
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高斯平均引数反算公式
- 反算公式结构简单，收敛快，精度高，无须迭代，这些优点使它成为迄今为止短距离大地主题解算的最佳公式
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白塞尔大地主题解算方法
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白塞尔法解算大地主题的基本思想:
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将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面上
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在球面上进行大地主题解算
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将球面上的计算结果换算到椭球面
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三个投影条件
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椭球面大地线投影到球面上为大圆弧
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大地线和大圆弧上相应点的方位角相等
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球面上任意一点纬度等于椭球面上相应点的归化纬度
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正算步骤
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计算起点的归化纬度
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计算辅助函数值，解球面三角形得
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按公式计算系数 \(A\), \(B\), \(C\) 以及 \(α\) , \(β\)
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计算球面长度
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计算经度差改正数
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计算终点大地坐标及大地方位角
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反算步骤
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辅助计算
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逐次趋近法同时计算起点大地方位角、球面长度及经差
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计算大地线长度 \(S\)
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计算反方位角
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数值积分法
地图数学投影变换的基本概念¶
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地图数学投影变换的意义和投影方程
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地图数学投影
- 把椭球面上元素(坐标，方位和距离)按一定的数学法则投影到平面上的工作，叫地图数学投影。
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坐标投影方程
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地图投影中，点的坐标是关键，因点的位置确定后，两点间距离和方位自然确定。
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两个面间的坐标对应关系用投影方程表示
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\(x=F_1(L,B)\) \(L,B\) 是椭球面上某点大地坐标
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\(y=F_2(L,B)\) \(x,y\) 是该点投影后平面直角坐标
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确定了 \(F_1\) 和 \(F_2\) 具体表达式，可进行坐标互换
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不同投影方法，则 \(c\) 具体表达式不同。换言之， \(F_1\) 和 \(F_2\) 可根据对投影提出的要求来选取。
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地图投影的变形
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投影长度比
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比值的极限
-
\(m=\cfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}S}\)
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性质
- 一点上的长度比，不仅随点的位置，且随线段的方向而发生变化。
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主方向和变形椭圆
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定义
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主方向
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投影后某点的长度比依方向不同而变化，其中最大及最小长度比的方向，称为主方向 。
- 椭球面任意点上，必有两条互相正交曲线，它在平面上投影也必相互正交。这两个方向是长度比的极值方向，即主方向。
-
-
变形椭圆
-
以定点为中心，以长度比数值为向径，构成以两个长度比极值为长、短半轴的椭圆，称变形椭圆
-
椭球面上的微分圆投影后为一个微分椭圆 ；
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原面上与主方向一致的一对直径，投影后成为椭圆的长轴和短轴，且长度比具有极值；
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变形椭圆的形状、大小及方向，完全由投影条件确定、随投影条件不同而不同，同一投影中因点位不同也不同。
-
变形椭圆可形象地表达点的投影变形情况
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-
-
投影变形
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定义
- 椭球面是一个凸起的不可展平的曲面 ，将其曲面上元素(如距离、方向、角度及图形等)投影到平面上，会和原来元素呈现差异，这一差异称为投影变形
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投影变形的分类
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长度变形
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方向变形
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角度变形
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面积变形
-
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投影变形
-
长度变形
- 长度比 \(m\) 与 \(1\) 之差为相对长度变形，简称长度变形，用 \(\nu\) 表示：
-
-
-
\(\nu=m-1\)
-
-
方向变形
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角度变形
-
面积变形
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原面：单位圆面积为 \(\pi\)
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投影面：投影后变形椭圆的面积为 \(\pi ab\)
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投影的面积比：
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\(P=ab\)
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面积变形定义：\((P-1)\) 称为面积变形。
-
-
-
-
地图投影的分类
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按变形性质分
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等角投影
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保证投影前后的角度不变形
-
投影条件
- 满足 \(a-b = 0\) 或 \(a=b\)
-
投影特性
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微分圆投影仍为微分圆，投影前后保持微小圆形相似性
-
投影长度比与方向无关，即某点的长度比是一个常数
-
-
-
等面积投影
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保持投影前后的面积不变形
-
投影条件
- 满足 \(ab=1\)
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-
任意投影
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按投影面形状分类
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方位投影
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圆锥投影
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圆柱（或椭圆柱）投影
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按投影面轴线方向
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正轴投影
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横轴投影
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斜轴投影
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按投影面与原面的切割关系
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切投影
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割投影
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高斯投影简要说明
高斯平面直角坐标系¶
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概述
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控制测量对地图投影的要求
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正形投影
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大量的角度观测，不用化算
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投影前后图形相似，用图识图便利
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要求长度和面积变形不大，计算尽可能简单，而又能保证精度
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限制投影变形，把整个地球分成若干个投影带，各带单独投影，并用简单数学方法构成统一系统，但分带不能太多
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高斯投影描述
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高斯投影
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按一定的数学规律把椭球面上元素(大地坐标，大地方位角、长度和和方向) 描写到高斯平面上的投影，叫高斯投影。
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它是横轴切椭圆柱等角投影
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高斯平面直角坐标系的建立
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投影时设想把一个横椭圆柱，套在椭球外面，使横椭圆柱中心轴通过椭球中心，与椭球某一子午线相切，这条子午线称为中央子午线。
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\(x\) 轴
- 椭球面与椭圆柱面相切的子午线，叫中央子午线，也称轴子午线，投影后为高斯平面的纵轴,指北为正。
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\(y\) 轴
- 把赤道面扩大，与椭圆柱面相交成一直线，为高斯平面的横轴，指东为正
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原点
- \(x\) 轴和 \(y\) 轴的交点
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高斯投影的分带
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为什么要分带
- 为限制投影变形，需要分带。
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分带
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按一定经度差，将椭球体按经线划分为若干个狭窄区域，以便各区域分别按高斯投影规律进行投影，叫做分带。
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各个区域称为一个投影带
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中央子午线（也称轴子午线）
- 位于各带中央的子午线
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分界子午线（也称边缘子午线）
- 各带相邻的子午线
-
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高斯投影分带
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高斯投影 6° 带
-
自 0° 子午线起，每隔经差 6° 自西向东分带，依次编号为 1，2，…，60。我国 6° 带中央子午线经度，由 75° (第 13 带)至 135° (第 23 带)，共计 11 带，带号用 \(n\) 表示。
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由带号计算中央经度
- \(L_0=6n-3\)
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由经度计算带号
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\(n=\lceil\cfrac{L}{6}\rceil\)
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即逢余进一
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高斯投影 3° 带
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在 6° 带基础上进行分带。自东经 1.5° 开始,每隔 3° 由西向东按 1，2，…，120 顺序编号。
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由带号计算中央经度
- \(L_0=3n\)
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由经度计算带号
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\(n=round(\cfrac{L}{3})\)
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即四舍五入
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高斯平面坐标表示法
- 为避免出现负值， \(y\) 坐标加 500Km，前面加注带号。则 \(y\) 值永为正，称国家统一坐标 \((x，y)\)。
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为便于地图拼接设置重叠部分
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分带造成边界子午线两侧控制点和地形图处于不同投影带内，给使用造成不便
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规定：相邻带之间设置重叠部分
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每一 6° 带向东加宽 30′，向西加宽 15′ 或 7.5′
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重叠部分控制点需计算两带坐标
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椭球面元素化算到高斯平面
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将椭球面三角网归算至高斯平面，包括坐标换算、曲率改化、距离改化和子午线收敛角等项计算工作
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高斯投影坐标计算
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坐标方位角计算
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方向改化计算
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距离改化计算
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坐标换带计算
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正形投影的一般条件
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正形投影是地图投影的一种，高斯投影是正形投影，故高斯投影应满足正形投影一般条件。
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正形投影/等角投影/保角投影特点
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微分圆投影仍为微分圆，投影前后保持微小圆形相似性
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投影长度比与方向无关，即某点的长度比是一个常数
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长度比通用公式
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柯西.黎曼条件
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椭球面到平面的正形投影一般条件
- \(\cfrac{\partial x}{\partial q}=\cfrac{\partial y}{\partial l}\\\cfrac{\partial x}{\partial l}=-\cfrac{\partial y}{\partial q}\)
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平面到椭球面正形投影的一般条件
- \(\cfrac{\partial q}{\partial x}=\cfrac{\partial l}{\partial y}\\\cfrac{\partial l}{\partial x}=-\cfrac{\partial q}{\partial y}\)
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高斯投影正反算公式
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定义
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高斯投影正算：
- 已知椭球面上某点大地坐标 \(B\) 、 \(L\) ，求其该点高斯平面直角坐标 \(x\) 、 \(y\) 的计算工作叫高斯投影正算。
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高斯投影反算：
- 已知某点高斯平面直角坐标 \(x\) 、 \(y\) ，求其该点椭球面上大地坐标 \(B\) 、 \(L\) 的计算工作叫高斯投影反算。
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高斯投影满足的三个条件
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中央子午线投影后为一直线，且是投影点的对称轴；
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中央子午线投影后长度不变；
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正形投影：投影长度比在一个点上与方向无关，满足柯西.黎曼条件。
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高斯投影正算公式
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公式推导基本思路
- 高斯投影按带投影，任一点的投影，只要看它属哪一带，确定出中央子午线经度 \(L0\) ，可计算出 \(经度差（简称经差）=L- L0\) ，故投影只与经差有关
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高斯投影坐标反算公式
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高斯投影正反算公式的特点和几何意义
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正算公式的几何意义
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高斯投影的特点
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当 \(l =0\) 时， \(x=X，y=0\) ，说明中央子午线投影后为直线，且为纵轴
-
当 \(l=C\) （非零常数）时， \(B↗\implies x↗, y↘\) 说明其他子午线凹向中央子午线，子午线向两极收敛，相交于极点。又：\(\cos(-B)=\cos B\)，无论 \(B\) 值为正或负，\(y\) 值不变，投影后对称于中央子午线和赤道。
-
当 \(B=0\) 时，赤道投影为 \(y\) 轴
-
当 \(B=C\)（非零常数）时， \(l↗ \implies x↗,y↗\) ，说明在椭球面上对称于赤道的纬圈，投影后仍成为对称的曲线，同时与子午线的投影曲线互相垂直，凹向两极。
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距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，长度变形也愈大。
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反算的几何意义
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平面子午线收敛角公式
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定义
- 地图上通过某点的纵坐标方向与子午线在该点处切线的夹角，用 \(\gamma\) 表示
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作用
- 大地方位角 \(Α\) \(→\) 平面坐标方位角 \(\alpha\)
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公式
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\(\gamma\) 的性质
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方向改化公式
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什么是方向改化
- 大地线投影曲线与连接两端点间弦线的夹角
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作用
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大地方位角 \(Α\) \(→\) 平面坐标方位角 \(\alpha\)
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改化椭球面上方向值
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公式
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方向改化检核计算
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距离改化公式
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什么是距离改化
- 把椭球面上大地线长 S 改化为高斯平面上直线距离 D 应加的改正称为距离改化。
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作用
- 实测边长→椭球面边长→高斯平面边长
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\(S\) 与 \(D\) 的关系
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长度比和长度变形
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长度变形规律
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长度比 \(m\) 只与点的位置 \((B，L)\) 或 \((x,y)\) 有关，即 \(m\) 只是点位坐标的函数，只随点的位置不同而变化，但在一点上与方向无关。这同正形投影一般条件是一致。
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当 \(y=0\) (或 \(l=0\) )时，亦即在纵坐标轴(或中央子午线)上，各点长度比 \(m\) 都等于 1，即:中央子午线投影后长度不变。这同高斯投影本身条件一致。
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当 \(y\ne 0\) (或 \(l\ne 0\))时，不管 \(y\) (或 \(l\) )为正还是为负，亦即不管该点在纵坐标轴之东还是之西，由于 \(m\) 是 \(y\) (或 \(l\) )的偶函数，故 \(m\) 恒大于 1。
- 即:不在中央子午线上的点，投影后都变长。
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长度变形 \((m-1)\) 与 \(y^2\) （或 \(l^2\) ）成比例增大，对于在椭球面上等长的子午线，离开中央子午线愈远的那条，其长度变形愈大，而对某一条子午线来说，在赤道处有最大变形。
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距离改化公式
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高斯投影邻带坐标换算
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为什么要换带
- 限制变形，要分带，存在邻带坐标换算
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换带方法
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利用高斯投影正反算公式进行换带计算
- 特点：理论严密，精度高，通用性强
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通用横轴墨卡托投影和高斯投影族的概念¶
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通用横轴墨卡托投影概念
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定义
- 通用横轴墨卡托投影(Universal Transverse Mercator Projection)，简称 UTM 投影，横轴等角割椭圆柱投影
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基本特点
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椭圆柱割地球于距离中央子午线约 180km 的两条标准割线，投影的南北边界为南纬 80 度、北纬 84 度。
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投影条件取第 3 个条件“中央经线投影长度比不等于 1 而是等于 0.9996”。
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投影后两条割线上没有变形，它的平面直角系与高斯投影相同。
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和高斯投影坐标有一个简单比例关系，有的文献上也称 \(m_0＝0.9996\) 的高斯投影。
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UTM 投影条件:
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正形（等角）：一个点上投影长度比与方向无关
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轴子午线投影后是一条直线，且是对称轴
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中央经线投影长度比等于 0.9996，在中央经线两边各 1°40′ 的经线，投影后两条割线上没有变形。
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公式
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计算公式
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变形特征
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中央经线长度变形为 -0.0004，即中央经线长度比为 0.9996 ；这是为使 \(B＝0°\)，\(l＝3°\) 处最大变形值小于 0.001 而选择的数值。
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两条割线(在赤道上，它们位于离中央子午线大约 ±180km，约 ±1°40＇处)没有长度变形。
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离开这两条割线愈远变形愈大。
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两条割线以内长度变形为负值（变短）。
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两条割线之外长度变形为正值（变长）。
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点的坐标表示方法
- 分带：全球划分为 60 个投影带，带号 1，2，3，…， 60 连续编号，每带经差为 6°，从经度 180°W 和 174°W 之间为起始带(1 带)，连续向东编号。带的编号与 1∶100 万比例尺地图有关规定相一致。该投影在南纬 80°至北纬 84°范围内使用。
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高斯投影族的概念
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高斯投影族是概括依经线分带的一族横轴等角投影。它应满足的投影条件
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中央经线和赤道投影后为相互垂直的直线，且为投影的对称轴
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投影具有等角性质
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中央经线上的长度比 \(m_0＝f(B)\) ，是纬度的函数
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坐标投影计算的通用公式
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高斯投影族的各类投影概括
- \(m_0=1-q\cos^2 (KB)\)
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兰勃脱投影概述¶
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兰勃脱投影基本概念
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兰勃脱投影是正形正轴圆锥投影，分为正形正轴切圆锥投影和正形正轴割圆锥投影。
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正轴正形切圆锥投影
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按正形投影一般条件和兰勃脱投影特殊条件：
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纬线投影：
- 椭球面上纬线（平行圈）投影到圆锥面上成同心圆。
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经线投影：
- 经线投影到圆锥面上成为从圆心发出的辐射直线。
-
沿圆锥面某条母线(一般为中央经线 \(L_0\) )，将圆锥面切开而展成平面，实现兰勃脱切圆锥投影 。
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正轴正形割圆锥投影
-
按正形投影一般条件和兰勃脱投影的特殊条件：
-
纬线投影：
- 椭球面上的纬线投影到圆锥面上成同心圆
-
经线投影：
- 椭球面上的经线投影到圆锥面上成从圆心发出的辐射直线
-
沿圆锥面某条母线(一般为中央经线 \(L_0\) )，将圆锥面切开而展成平面，从而实现兰勃脱圆锥投影，称之为兰勃脱割圆锥投影。
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-
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坐标系的建立
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切圆锥投影：
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标准纬线
- 圆锥面与椭球面相切的纬线(纬度 \(B_0\)）
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\(x\) 轴
- 将中央子午线的投影为平面直角坐标系的 x 轴
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坐标原点 \(o\)
- 中央子午线与标准纬线相交的投影点
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\(y\) 轴
- 过原点 \(o\) 与标准纬线投影相切的直线，即从原点 \(o\) 作 \(x\) 轴垂线，为投影直角坐标系 \(y\) 轴，指向东为正。
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-
割圆锥投影
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\(x\) 轴
- 将中央子午线的投影为平面直角坐标系的 x 轴
-
坐标原点 \(o\)
- 中央子午线与参考纬线相交的投影点
-
\(y\) 轴
- 过原点 \(o\) 与参考纬线投影相切的直线，亦即从原点 \(o\) 作 \(x\) 轴的垂线，为直角坐标系 \(y\) 轴，指向东为正。
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计算公式
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兰勃脱投影变形与分带
- 纬度的分带投影
第五章 大地测量基本技术与方法¶
国家平面大地控制网¶
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建立国家平面大地控制网的方法
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常规大地测量法
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三角测量法
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导线测量法
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三边测量及边角同测法
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天文测量法
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现代定位新技术简介
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建立国家平面大地控制网的基本原则
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大地控制网应分级布设、逐级控制
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大地控制网应有足够的精度
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大地控制网应有一定的密度
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大地控制网应有统一的技术规格和要求
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国家平面大地控制网的布设方案
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常规大地测量方法布设国家三角网
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一等三角锁系布设方案
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二等三角锁、网布设方案
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三、四等三角网
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插网法
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插点法
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我国天文大地网基本情况简介
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现代技术建立国家大地测量控制网
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国家平面大地控制网的布设
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传统控制网：一、二、三、四等
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GNSS 控制网：A、B、C、D、E 级
- 一般可把 GNSS 网分为两大类：一类是全球或全国性的高精度的 GNSS 网(A、B 级网），另一类是区域性的 GNSS 网（C、D、E 级网）
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四项基本布网原则：分级、精度、密度、规范
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国家平面大地控制网的工作内容
- 技术设计、实地选点、建造觇标、标石埋设、外业测量、平差计算
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大地控制网优化设计简介
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大地控制网优化设计简介
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最优化就是在相同的条件下从所有可能方案中选择最佳的一个。
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控制网设计的目标，指的是控制网应达到的质量标准，它是设计的依据和目的，同时又是评定网的质量的指标。
- 质量标准包括精度标准、可靠性标准、费用标准、可区分标准及灵敏度标准等，其中常用的主要是前 3 个标准。
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国家高程控制网¶
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国家高程控制网的布设原则
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目的和任务
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采用水准测量建立统一的高程控制网，为地形测图和各项建设提供必要的高程控制基础
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为地壳垂直运动、平均海面倾斜及其变化和大地水准面形状等地球科学研究提供精确的高程数据
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从高到低分级布网、逐级控制
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水准测量达到足够的密度
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水准测量达到足够的精度
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一等水准网应定期复测
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国家水准网的布设方案及精度
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我国的水准测量分为四个等级，各等级水准测量路线必须自行闭合或闭合于高等级的水准路线上，与其构成环形或附合路线，以便控制水准测量系统误差的积累和便于在高等级的水准环中布设低等级的水准路线。
-
一等闭合环线周长，在平原和丘陵地区为 1 000～1 500km，一般山区为 2 000km 左右。
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二等闭合环线周长，在平原地区为 500～750km,山区一般不超过 1 000km。
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三、四等水准用于加密，根据高等级水准环的大小和实际需要布设，其中环线周长、附合路线长度和结点间路线长度，三等水准分别为 200km、150km 和 70km；四等分别为 100km、80km 和 30km。
-
-
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水准路线的设计、选点和埋石
-
技术设计
- 技术设计是根据任务要求和测区情况，在小比例尺地图上，拟定最合理的水准网或水准路线的布设方案。
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选点
- 选定水准点时，必须能保证点位地基稳定、安全僻静，并利于标石长期保存与观测使用。水准点点位选定后，应填绘点之记，绘制水准路线图及结点接测图。
-
埋石
- 水准标石有基岩水准标石、基本水准标石和普通水准标石三种类型。
-
-
水准路线上的重力测量
- 因精密水准测量成果需进行重力异常改正，故在一、二等水准路线沿线要进行重力测量。
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我国国家水准网的布设概况
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我国国家水准网的布设，按照布测目的、完成年代、采用技术标准和高程基准等，基本上可分为三期
-
第一期主要是 1976 年以前完成的，以 1956 年黄海高程基准起算的各等级水准网
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第二期主要是 1976 年至 1990 年完成的，以“1985 国家高程基准”起算的国家一、二等水准网
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第三期是 1990 年以后进行的国家一等水准网的复测和局部地区二等水准网的复测，现已完成外业观测和内业平差计算工作，成果已提供使用。
-
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精密角度测量方法¶
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精密角度测量仪器介绍
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精密光学经纬仪的主要特点
- 度盘及其读数系统由光学玻璃组成，水平度盘和垂直度盘有读数显微镜和光学测微器，并实现双面(对径)读数。
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精密电子经纬仪/全站仪的主要特点
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角度标准设备
- 采用编码度盘及编码测微器的绝对式采用光栅度盘并利用莫尔干涉条纹测量技术的增量式。
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微处理器，主要功能
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控制和检核各种测量程序
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实现电子测角，并计算竖轴倾斜引起的水平角及竖直角的改正。
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实现电子测距和计算，对所测距离进行地球曲率和气象改正，并进行相应的数据处理如水平距离、高差及坐标增量的计算等。
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将观测值及计算结果显示在显示器上或自动记录在电子手簿上或存储器内
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-
竖轴倾斜自动测量和改正系统：
- 供仪器自动整平及整平剩余误差对水平盘读数和竖盘读数的自动改正。
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现代电子经纬仪具有自动观测功能
- 带有马达伺服装置和 CCD 摄像镜头，能够自动搜索目标、精密照准、按程序进行测量和记录。
-
-
-
精密测角的误差来源及影响
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外界条件的影响
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大气层密度的变化对目标成像稳定性的影响
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早晨太阳升起时，目标成像也仅有轻微的波动
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日出以后，有一段时间，大约 1～3h，成像较稳定
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12~15 h，成像波动较大
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日落前有一段成像稳定而有利于观测的时间
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夜间大气层一般是平衡的
-
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水平折光的影响
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照准目标的相位差
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温度变化对视准轴的影响
- 按时间对称排列的观测程序来削弱这种误差对观测结果的影响
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外界条件对觇标内架稳定性的影响
- 按时间对称排列的观测程序也可以减弱这种误差对水平角的影响
-
-
仪器误差的影响
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水平度盘位移的影响
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照准部旋转不正确的影响
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照准部水平微动螺旋作用不正确的影响
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垂直微动螺旋作用不正确的影响
-
-
照准和读数误差的影响
- 照准误差受外界因素的影响较大,与照准目标的形状和清晰度密切相关
-
-
精密测角的一般原则
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观测应在目标成像清晰、稳定的有利于观测的时间进行，以提高照准精度和减小旁折光的影响。
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观测前应认真调好焦距，消除视差。在一测回的观测过程中不得重新调焦，以免引起视准轴的变动。
-
各测回的起始方向应均匀地分配在水平度盘和测微分划尺的不同位置上，以消除或减弱度盘分划线和测微分划尺的分划误差的影响。
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在上、下半测回之间倒转望远镜，以消除和减弱视准轴误差、水平轴倾斜误差等影响，同时可以由盘左、盘右读数之差求得两倍视准误差 2 c ，借以检核观测质量。
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上、下半测回照准目标的次序应相反，并使观测每一目标的操作时间大致相同，即在一测回的观测过程中，应按与时间对称排列的观测程序，其目的在于消除或减弱与时间成比例均匀变化的误差影响，如觇标内架或三脚架的扭转等。
-
为了克服或减弱在操作仪器的过程中带动水平度盘位移的误差，要求每半测回开始观测前，照准部按规定的转动方向先预转 1～2 周。
-
使用照准部微动螺旋和测微螺旋时，其最后旋转方向均应为旋进。
-
为了减弱垂直轴倾斜误差的影响，观测过程中应保持照准部水准器气泡居中
-
精密电磁波测距方法¶
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电磁波测距基本原理
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电磁波测距基本原理公式
- \(D=\cfrac{1}{2}ct\)
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相位式测距原理公式
-
\(t=\cfrac{\varphi}{2\pi f}\)
-
\(\varphi=2\pi(N+\Delta N)\)
-
\(D=\cfrac{c}{2f}(N+\Delta N)=\cfrac{\lambda}{2}(N+\Delta N)=u(N+\Delta N)\)
-
\(u=\cfrac{\lambda}{2}\)
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-
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N 值解算一般原理
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可变频率法
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固定频率法
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距离观测的改正
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气象改正
- 实质是大气折射率对距离的改正
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仪器加常数改正和乘常数改正
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仪器加常数改正
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乘常数改正
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六段法测定仪器加常数的基本原理
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波道曲率改正
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归心改正
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周期误差改正
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测距的误差来源和精度表达式
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测距的主要误差来源
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测距的精度表达式
- m=a+b\times D
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精密水准测量方法¶
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水准仪介绍 "光学水准仪与人工读数水准尺电子/数字水准仪与编码水准尺"
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WildN3 精密水准仪简介
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自动安平水准仪简介
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精密水准尺
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电子/数字水准仪简介
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主要特征：由传感器识别条形码水准标尺上的条形码分划，经信息转换处理获取观测值，并以数字形式显示或存储在仪器内。
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精密水准仪的主要特点
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高质量的望远镜光学系统
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坚固稳定的仪器结构
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高精度的测微器装置
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高灵敏的管水准器
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高性能的补偿器装置
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精密水准尺的主要特点
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当空气的温度和湿度发生变化时，水准标尺分划间的长度必须保持稳定
-
水准标尺的分划必须十分正确与精密，分划的偶然误差和系统误差都应很小
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水准标尺在构造上应保证全长笔直，并且尺身不易发生长度和弯扭等变形
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在精密水准标尺的尺身上应附有圆水准器装置，作业时扶尺者借以使水准标尺保持在垂直位置
-
-
-
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精密水准测量的误差来源及影响
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仪器误差
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i 角的误差影响
- 二等水准测量：前后视距差应≤1 m。前后视距累积差，应≤3m
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φ角误差的影响
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水准标尺每米长度误差的影响
- 对一个测站的观测高差 h 应加的改正数
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两水准标尺零点差的影响
- 水准测量作业中各测段的测站数目应安排成偶数，且在相邻测站上使两水准标尺轮流作为前视尺和后视尺
-
-
外界因素引起的误差
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观测误差
- 精密水准测量的观测误差，主要有水准器气泡居中的误差，照准水准标尺上分划的误差和读数误差
-
-
精密水准测量的实施
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精密水准测量作业的一般规定
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仪器距前、后视水准标尺的距离应尽量相等，其差应小于规定的限值：二等水准测量中规定，一测站前、后视距差应小于 1.0m，前、后视距累积差应小于 3m。
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在两相邻测站上，应按奇、偶数测站的观测程序进行观测。对于往测奇数测站按“后前前后”，偶数测站按“前后后前”的观测程序在相邻测站上交替进行。返测时，奇数测站与偶数测站的观测程序与往测时相反，即奇数测站由前视开始，偶数测站由后视开始。
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每一测段的往测与返测，其测站数均应为偶数，由往测转向返测时，两水准标尺应互换位置，并应重新整置仪器。每一测段的水准测量路线应进行往测和返测
-
一个测段的水准测量路线的往测和返测应在不同的气象条件下进行，如分别在上午和下午观测。
-
-
精密水准测量观测
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测站观测程序
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往测: 奇数测站照准顺序(BFFB)
- 后视尺基本分划；前视尺基本分划；前视尺辅助分划； 后视尺辅助分划；
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往测: 偶数测站照准顺序(FBBF)
- 前视尺基本分划；后视尺基本分划；后视尺辅助分划；前视尺辅助分划。
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返测: 奇、偶数测站照准标尺顺序分别与往测偶、奇数测站相同。
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水准测量的概算
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水准标尺每米长度误差的改正数计算
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正常水准面不平行的改正数计算, 重力异常改正数计算
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水准路线闭合差计算
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高差改正数的计算
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计算水准点的概略高程
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